Listen with half an ear é um idiom que significa não prestar muita atenção. Exemplos:
“Peter sometimes listens with half an ear, that’s why the boss is mad at him.” (Peter as vezes não presta muita atenção, por isso que o chefe está bravo com ele.)
“I hate when people listen with half an ear when I’m talking about something important.” (Eu odeio quando as pessoas não prestam atenção quando eu estou falando sobre alguma coisa importante.)